摘要：支持向量机即SVM(Support Vector Machine) ，是一种监督学习算法，属于分类的范畴。首先，支持向量机不是一种机器，而是一种机器学习算法。在数据挖掘的应用中，与无监督学习的聚类相对应和区别。广泛应用于机器学习，计算机视觉和数据挖掘当中。（本文原创，转载必须注明出处.）
上节回顾，还记得如何基于svm进行分类？
寻找最大间隔
怎么寻找最大间隔
点到超平面的距离
- 分隔超平面
函数间距: \(y(x)=w^Tx+b\) - 分类的结果： \(f(x)=sign(w^Tx+b)\) (sign表示>0为1，<0为-1，=0为0)
- 点到超平面的
几何间距: \(d(x)=(w^Tx+b)/||w||\) （||w||表示w矩阵的二范数=> \(\sqrt{w^T*w}\), 点到超平面的距离也是类似的）
拉格朗日乘子法
- 类别标签用-1、1，是为了后期方便 \(label*(w^Tx+b)\) 的标识和距离计算；如果 \(label*(w^Tx+b)>0\) 表示预测正确，否则预测错误。
- 现在目标很明确，就是要找到
w和b，因此我们必须要找到最小间隔的数据点，也就是前面所说的支持向量。- 让最小的距离取最大.(最小的距离：就是最小间隔的数据点；最大：就是最大间距，为了找出最优超平面—最终就是支持向量)
- 目标函数：\(arg: max_{w, b} \left( min[label*(w^Tx+b)]*\frac{1}{||w||} \right) \)
- 如果 \(label*(w^Tx+b)>0\) 表示预测正确，也称
函数间隔，\(||w||\) 可以理解为归一化，也称几何间隔。 - 令 \(label*(w^Tx+b)>=1\)， 因为0～1之间，得到的点是存在误判的可能性，所以要保障 \(min[label*(w^Tx+b)]=1\)，才能更好降低噪音数据影响。
- 所以本质上是求 \(arg: max_{关于w, b} \frac{1}{||w||} \)；也就说，我们约束(前提)条件是: \(label*(w^Tx+b)=1\)
- 如果 \(label*(w^Tx+b)>0\) 表示预测正确，也称
- 新的目标函数求解： \(arg: max_{关于w, b} \frac{1}{||w||} \)
- => 就是求: \(arg: min_{关于w, b} ||w|| \) (求矩阵会比较麻烦，如果x只是 \(\frac{1}{2}*x^2\) 的偏导数，那么。。同样是求最小值)
- => 就是求: \(arg: min_{关于w, b} (\frac{1}{2}*||w||^2)\) (二次函数求导，求极值，平方也方便计算)
- 本质上就是求线性不等式的二次优化问题(求分隔超平面，等价于求解相应的凸二次规划问题)
- 通过拉格朗日乘子法，求二次优化问题
- 假设需要求极值的目标函数 (objective function) 为 f(x,y)，限制条件为 φ(x,y)=M # M=1
- 设g(x,y)=M-φ(x,y) # 临时φ(x,y)表示下文中 \(label*(w^Tx+b)\)
- 定义一个新函数: F(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)
- a为λ（a>=0），代表要引入的拉格朗日乘子(Lagrange multiplier)
- 那么： \(L(w,b,\alpha)=\frac{1}{2} * ||w||^2 + \sum_{i=1}^{n} \alpha_i * [1 - label * (w^Tx+b)]\)
- 因为：\(label*(w^Tx+b)>=1, \alpha>=0\) , 所以 \(\alpha*[1-label*(w^Tx+b)]<=0\) , \(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i * [1-label*(w^Tx+b)]<=0\)
- 当 \(label*(w^Tx+b)>1\) 则 \(\alpha=0\) ，表示该点为非支持向量
- 相当于求解： \(max_{关于\alpha} L(w,b,\alpha) = \frac{1}{2} *||w||^2\)
- 如果求： \( min_{关于w, b}\frac{1}{2} *||w||^2 \) , 也就是要求： \(min_{关于w, b} \left( max_{关于\alpha} L(w,b,\alpha)\right)\)
- 现在转化到对偶问题的求解
- \(min_{关于w, b} \left(max_{关于\alpha} L(w,b,\alpha) \right) \) >= \(max_{关于\alpha} \left(min_{关于w, b}\ L(w,b,\alpha) \right) \)
- 现在分2步
- 先求： \(min_{关于w, b} L(w,b,\alpha)=\frac{1}{2} * ||w||^2 + \sum_{i=1}^n \alpha_i * [1 - label * (w^Tx+b)]\)
- 就是求
L(w,b,a)关于[w, b]的偏导数, 得到w和b的值，并化简为：L和a的方程。 - 参考： 如果公式推导还是不懂，也可以参考《统计学习方法》李航-P103<学习的对偶算法>
- 终于得到课本上的公式： \(max_{\alpha} [ \sum_{i=1}^m \alpha_i - \frac{1}{2}\sum^m ·\alpha_i·\alpha_j·\langle x^{(i)}, x^{(j)} \rangle ]\)
- 约束条件： \(a>=0\) 并且 \(\sum_{i=1}^{m} a_i·label_i=0\)
拉格朗日乘子法理解
要求\( f(x,y)\),在\( g(x,y)=c\)时的最大值时，我们可以引入新变量拉格朗日乘数\(\lambda\) ，这时我们只需要下列拉格朗日函数的极值,为了帮助大家更好的理解，请参照下图（绿线标出的是约束g(x,y) = c的点的轨迹。蓝线是f的等高线。箭头表示斜率，和等高线的法线平行。）：
拉格朗日乘子证明过程
设函数\( f(x,y)\)在 \( A\)点处有极值\( \kappa\)，且在\( A\)点的邻域内连续。则在\( A\)点处有\( f\left(x,y\right)=\kappa \)
另有一常值函数:\( g\left(x,y\right)=c\)
二函数在 \(A\)点处的全微分为
由于\( \mathrm {d} x\)和\(\mathrm{d}y\)是任取的无穷小量，故该线性方程组的系数成比例，有
即
将上二式分别乘以\( \mathrm{d}x \)和\(\mathrm{d}y\)，再相加并积分，得到一新函数
那么，求原函数极值的问题就转化为求该函数极值的问题。类似地，这种求极值的方法也可以推广到多维函数 \(f\left(x_1,\ldots ,x_n\right)\)。
拉格朗日乘子简单例子
求此方程的最小值：\( f(x, y) = x^2 y\),同时未知数满足\(x^2 + y^2 = 1\)
因为只有一个未知数的限制条件，我们只需要用一个乘数\(\lambda \).
将所有 \(\Phi\) 方程的偏微分设为零，得到一个方程组，最小值是以下方程组的解中的一个：
松弛变量(slack variable)
我们知道几乎所有的数据都不那么干净, 通过引入松弛变量来 允许数据点可以处于分隔面错误的一侧。
约束条件： \(C>=a>=0\) 并且 \(\sum_{i=1}^{m} a_i·label_i=0\)
总的来说：
- 常量C是
惩罚因子, 表示离群点的权重（用于控制“最大化间隔”和“保证大部分点的函数间隔小于1.0” ）- \(label*(w^Tx+b) > 1\) and alpha = 0 (在边界外，就是非支持向量)
- \(label*(w^Tx+b) = 1\) and 0< alpha < C (在分割超平面上，就支持向量)
- \(label*(w^Tx+b) < 1\) and alpha = C (在分割超平面内，是误差点 -> C表示它该受到的惩罚因子程度)
- C值越大，表示离群点影响越大，就越容易过度拟合；反之有可能欠拟合。
- 我们看到，目标函数控制了离群点的数目和程度，使大部分样本点仍然遵守限制条件。
- 例如：正类有10000个样本，而负类只给了100个（C越大表示100个负样本的影响越大，就会出现过度拟合，所以C决定了负样本对模型拟合程度的影响！，C就是一个非常关键的优化点！）
- 这一结论十分直接，SVM中的主要工作就是要求解 alpha.
SMO 高效优化算法
SVM有很多种实现，最流行的一种实现是： 序列最小优化(Sequential Minimal Optimization, SMO)算法。下面还会介绍一种称为 核函数(kernel) 的方式将SVM扩展到更多数据集上。 注意：SVM几何含义比较直观，但其算法实现较复杂，牵扯大量数学公式的推导。
序列最小优化(Sequential Minimal Optimization, SMO)
- John Platt于1996年创建
- SMO用途：用于训练 SVM
- SMO目标：求出一系列 alpha 和 b,一旦求出 alpha，就很容易计算出权重向量 w 并得到分隔超平面。
- SMO思想：是将大优化问题分解为多个小优化问题来求解的。
- SMO原理：每次循环选择两个 alpha 进行优化处理，一旦找出一对合适的 alpha，那么就增大一个同时减少一个。
- 这里指的合适必须要符合一定的条件
- 这两个 alpha 必须要在间隔边界之外
- 这两个 alpha 还没有进行过区间化处理或者不在边界上。
- 之所以要同时改变2个 alpha；原因是我们有一个约束条件： \(\sum_{i=1}^{m} a_i·label_i=0\)；如果只是修改一个 alpha，很可能导致约束条件失效。
- 这里指的合适必须要符合一定的条件
SMO 伪代码大致如下：
创建一个 alpha 向量并将其初始化为0向量
当迭代次数小于最大迭代次数时(外循环)
对数据集中的每个数据向量(内循环)：
如果该数据向量可以被优化
随机选择另外一个数据向量
同时优化这两个向量
如果两个向量都不能被优化，退出内循环
如果所有向量都没被优化，增加迭代数目，继续下一次循环
SVM 开发流程
收集数据：可以使用任意方法。
准备数据：需要数值型数据。
分析数据：有助于可视化分隔超平面。
训练算法：SVM的大部分时间都源自训练，该过程主要实现两个参数的调优。
测试算法：十分简单的计算过程就可以实现。
使用算法：几乎所有分类问题都可以使用SVM，值得一提的是，SVM本身是一个二类分类器，对多类问题应用SVM需要对代码做一些修改。
SVM 算法特点
优点：泛化（由具体的、个别的扩大为一般的，就是说：模型训练完后的新样本）错误率低，计算开销不大，结果易理解。
缺点：对参数调节和核函数的选择敏感，原始分类器不加修改仅适合于处理二分类问题。
使用数据类型：数值型和标称型数据。
SVM无核函数分类
这里是对小规模数据点进行分类
收集数据
文本文件格式：
3.542485 1.977398 -1
3.018896 2.556416 -1
7.551510 -1.580030 1
2.114999 -0.004466 -1
8.127113 1.274372 1
准备数据
'''对文件进行逐行解析，从而得到第行的类标签和整个数据矩阵'''
def loadDataSet(fileName):
dataMat = [];labelMat = []
fr = open(fileName)
for line in fr.readlines():
lineArr = line.strip().split('\t')
dataMat.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
labelMat.append(float(lineArr[2]))
return dataMat, labelMat
## 训练算法
简化版SMO（序列最小优化）算法
'''
简化版SMO（序列最小优化）算法
输入参数：
C 松弛变量(常量值)，允许有些数据点可以处于分隔面的错误一侧。控制最大化间隔和
保证大部分的函数间隔小于1.0这两个目标权重。通过调节该参数达到不同的结果。
toler 容错率（在某个体系中能减小一些因素或选择对某个系统产生不稳定的概率。）
maxIter 退出前最大的循环次数
返回参数：
b 模型的常量值
alphas 拉格朗日乘子
'''
def smoSimple(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter):
dataMatrix = mat(dataMatIn)
labelMat = mat(classLabels).transpose()
m, n = shape(dataMatrix)
# 初始化 b和alphas(alpha有点类似权重值。)
b = 0;alphas = mat(zeros((m, 1)))
# 没有任何alpha改变的情况下遍历数据的次数
iter = 0
while (iter < maxIter):
# w = calcWs(alphas, dataMatIn, classLabels)
# print("w:", w)
# 记录alpha是否已经进行优化，每次循环时设为0，然后再对整个集合顺序遍历
alphaPairsChanged = 0
for i in range(m):
# 我们预测的类别 y = w^Tx[i]+b; 其中因为 w = Σ(1~n) a[n]*lable[n]*x[n]
fXi = float(multiply(alphas, labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[i, :].T)) + b
# 预测结果与真实结果比对，计算误差Ei
Ei = fXi - float(labelMat[i])
# 约束条件 (KKT条件是解决最优化问题的时用到的一种方法。我们这里提到的最优化问题通常是指对于给定的某一函数，求其在指定作用域上的全局最小值)
# 0<=alphas[i]<=c，但由于0和c是边界值，我们无法进行优化，因为需要增加一个alphas和降低一个alphas。 #="" 表示发生错误的概率：labelmat[i]*ei="" 如果超出了="" toler，="" 才需要优化。至于正负号，我们考虑绝对值就对了。="" '''="" 检验训练样本(xi,="" yi)是否满足kkt条件="" yi*f(i)="">= 1 and alpha = 0 (outside the boundary)
yi*f(i) == 1 and 0 toler) and (alphas[i] > 0)):
# 如果满足优化的条件，我们就随机选取非i的一个点，进行优化比较
j = selectJrand(i, m)
# 预测j的结果
fXj = float(multiply(alphas, labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[j, :].T)) + b
Ej = fXj - float(labelMat[j])
alphaIold = alphas[i].copy()
alphaJold = alphas[j].copy()
# L和H用于将alphas[j]调整到0-C之间。如果L==H，就不做任何改变，直接执行continue语句
# labelMat[i] != labelMat[j] 表示异侧，就相减，否则是同侧，就相加。
if (labelMat[i] != labelMat[j]):
L = max(0, alphas[j] - alphas[i])
H = min(C, C + alphas[j] - alphas[i])
else:
L = max(0, alphas[j] + alphas[i] - C)
H = min(C, alphas[j] + alphas[i])
# 如果相同，就没发优化了
if L == H:
# print("L==H")
continue
# eta是alphas[j]的最优修改量，如果eta==0，需要退出for循环的当前迭代过程
# 参考《统计学习方法》李航-P125~P128<序列最小最优化算法>
eta = 2.0 * dataMatrix[i, :]*dataMatrix[j, :].T - dataMatrix[i, :]*dataMatrix[i, :].T - dataMatrix[j, :]*dataMatrix[j, :].T
if eta >= 0:
# print("eta>=0")
continue
# 计算出一个新的alphas[j]值
alphas[j] -= labelMat[j]*(Ei - Ej)/eta
# 并使用辅助函数，以及L和H对其进行调整
alphas[j] = clipAlpha(alphas[j], H, L)
# 检查alpha[j]是否只是轻微的改变，如果是的话，就退出for循环。
if (abs(alphas[j] - alphaJold) < 0.00001):
# print("j not moving enough")
continue
# 然后alphas[i]和alphas[j]同样进行改变，虽然改变的大小一样，但是改变的方向正好相反
alphas[i] += labelMat[j]*labelMat[i]*(alphaJold - alphas[j])
# 在对alpha[i], alpha[j] 进行优化之后，给这两个alpha值设置一个常数b。
# w= Σ[1~n] ai*yi*xi => b = yj- Σ[1~n] ai*yi(xi*xj)
# 所以： b1 - b = (y1-y) - Σ[1~n] yi*(a1-a)*(xi*x1)
# 为什么减2遍？ 因为是 减去Σ[1~n]，正好2个变量i和j，所以减2遍
b1 = b - Ei- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i, :]*dataMatrix[i, :].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[i, :]*dataMatrix[j, :].T
b2 = b - Ej- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i, :]*dataMatrix[j, :].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[j, :]*dataMatrix[j, :].T
if (0 < alphas[i]) and (C > alphas[i]):
b = b1
elif (0 < alphas[j]) and (C > alphas[j]):
b = b2
else:
b = (b1 + b2)/2.0
alphaPairsChanged += 1
# print("iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter, i, alphaPairsChanged))
# 在for循环外，检查alpha值是否做了更新，如果在更新则将iter设为0后继续运行程序
# 知道更新完毕后，iter次循环无变化，才推出循环。
if (alphaPairsChanged == 0):
iter += 1
else:
iter = 0
# print("iteration number: %d" % iter)
return b, alphas
SVM简化版，应用简化版SMO算法处理小规模数据集；SVM完整版，使用完整 Platt SMO算法加速优化，优化点：选择alpha的方式不同。具体代码实现下面提供完整代码下载
核函数(kernel) 使用
对于线性可分的情况，效果明显,对于非线性的情况也一样，此时需要用到一种叫核函数(kernel)的工具将数据转化为分类器易于理解的形式。利用核函数将数据映射到高维空间,使用核函数可以将数据从某个特征空间到另一个特征空间的映射。（通常情况下：这种映射会将低维特征空间映射到高维空间。） 如果觉得特征空间很难理解,可以把核函数想象成一个包装器(wrapper)或者是接口(interface)，它能将数据从某个很难处理的形式转换成为另一个较容易处理的形式。经过空间转换后：低维需要解决的非线性问题，就变成了高维需要解决的线性问题。SVM 优化特别好的地方，在于所有的运算都可以写成内积(inner product: 是指2个向量相乘，得到单个标量 或者 数值)；内积替换成核函数的方式被称为核技巧(kernel trick)或者核"变电"(kernel substation). 核函数并不仅仅应用于支持向量机，很多其他的机器学习算法也都用到核函数。最流行的核函数：径向基函数(radial basis function).
手写数字识别的优化（有核函数）
你的老板要求：你写的那个手写识别程序非常好，但是它占用内存太大。顾客无法通过无线的方式下载我们的应用。所以：我们可以考虑使用支持向量机，保留支持向量就行（knn需要保留所有的向量），就可以获得非常好的效果。
收集数据：提供的文本文件
00000000000000001111000000000000
00000000000000011111111000000000
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00000000000000111111111100000000
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00000000001111111111111000000000
00000001111111111111111000000000
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00000000000000000111111100000000
准备数据：基于二值图像构造向量
将 32*32的文本转化为 1*1024的矩阵
def img2vector(filename):
returnVect = zeros((1, 1024))
fr = open(filename)
for i in range(32):
lineStr = fr.readline()
for j in range(32):
returnVect[0, 32 * i + j] = int(lineStr[j])
return returnVect
def loadImages(dirName):
from os import listdir
hwLabels = []
print(dirName)
trainingFileList = listdir(dirName) # load the training set
m = len(trainingFileList)
trainingMat = zeros((m, 1024))
for i in range(m):
fileNameStr = trainingFileList[i]
fileStr = fileNameStr.split('.')[0] # take off .txt
classNumStr = int(fileStr.split('_')[0])
if classNumStr == 9:
hwLabels.append(-1)
else:
hwLabels.append(1)
trainingMat[i, :] = img2vector('%s/%s' % (dirName, fileNameStr))
return trainingMat, hwLabels
分析数据：对图像向量进行目测
训练算法
采用两种不同的核函数，并对径向基核函数采用不同的设置来运行SMO算法.
'''核转换函数
X dataMatIn数据集
A dataMatIn数据集的第i行的数据
kTup 核函数的信息
'''
def kernelTrans(X, A, kTup):
m, n = shape(X)
K = mat(zeros((m, 1)))
if kTup[0] == 'lin':
# linear kernel: m*n * n*1 = m*1
K = X * A.T
elif kTup[0] == 'rbf':
for j in range(m):
deltaRow = X[j, :] - A
K[j] = deltaRow * deltaRow.T
# 径向基函数的高斯版本
K = exp(K / (-1 * kTup[1] ** 2)) # divide in NumPy is element-wise not matrix like Matlab
else:
raise NameError('Houston We Have a Problem -- That Kernel is not recognized')
return K
"""
完整SMO算法外循环，与smoSimple有些类似，但这里的循环退出条件更多一些
Args:
dataMatIn 数据集
classLabels 类别标签
C 松弛变量(常量值)，允许有些数据点可以处于分隔面的错误一侧。
控制最大化间隔和保证大部分的函数间隔小于1.0这两个目标的权重。
可以通过调节该参数达到不同的结果。
toler 容错率
maxIter 退出前最大的循环次数
kTup 包含核函数信息的元组
Returns:
b 模型的常量值
alphas 拉格朗日乘子
"""
def smoP(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter, kTup=('lin', 0)):
# 创建一个 optStruct 对象
oS = optStruct(mat(dataMatIn), mat(classLabels).transpose(), C, toler, kTup)
iter = 0
entireSet = True
alphaPairsChanged = 0
# 循环遍历：循环maxIter次 并且 （alphaPairsChanged存在可以改变 or 所有行遍历一遍）
while (iter < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or (entireSet)):
alphaPairsChanged = 0
# 当entireSet=true or 非边界alpha对没有了；就开始寻找 alpha对，然后决定是否要进行else。
if entireSet:
# 在数据集上遍历所有可能的alpha
for i in range(oS.m):
# 是否存在alpha对，存在就+1
alphaPairsChanged += innerL(i, oS)
# print("fullSet, iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter, i, alphaPairsChanged))
iter += 1
# 对已存在 alpha对，选出非边界的alpha值，进行优化。
else:
# 遍历所有的非边界alpha值，也就是不在边界0或C上的值。
nonBoundIs = nonzero((oS.alphas.A > 0) * (oS.alphas.A < C))[0]
for i in nonBoundIs:
alphaPairsChanged += innerL(i, oS)
# print("non-bound, iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter, i, alphaPairsChanged))
iter += 1
# 如果找到alpha对，就优化非边界alpha值，否则，就重新进行寻找，如果寻找一遍 遍历所有的行还是没找到，就退出循环。
if entireSet:
entireSet = False # toggle entire set loop
elif alphaPairsChanged == 0:
entireSet = True
print("iteration number: %d" % iter)
return oS.b, oS.alphas
测试算法：便携一个函数来测试不同的和函数并计算错误率
def testDigits(kTup=(‘rbf’, 10)):
# 1. 导入训练数据
dataArr, labelArr = loadImages('input/6.SVM/trainingDigits')
b, alphas = smoP(dataArr, labelArr, 200, 0.0001, 10000, kTup)
datMat = mat(dataArr)
labelMat = mat(labelArr).transpose()
svInd = nonzero(alphas.A > 0)[0]
sVs = datMat[svInd]
labelSV = labelMat[svInd]
# print("there are %d Support Vectors" % shape(sVs)[0])
m, n = shape(datMat)
errorCount = 0
for i in range(m):
kernelEval = kernelTrans(sVs, datMat[i, :], kTup)
# 1*m * m*1 = 1*1 单个预测结果
predict = kernelEval.T * multiply(labelSV, alphas[svInd]) + b
if sign(predict) != sign(labelArr[i]): errorCount += 1
print("the training error rate is: %f" % (float(errorCount) / m))
# 2. 导入测试数据
dataArr, labelArr = loadImages('input/6.SVM/testDigits')
errorCount = 0
datMat = mat(dataArr)
labelMat = mat(labelArr).transpose()
m, n = shape(datMat)
for i in range(m):
kernelEval = kernelTrans(sVs, datMat[i, :], kTup)
# 1*m * m*1 = 1*1 单个预测结果
predict = kernelEval.T * multiply(labelSV, alphas[svInd]) + b
if sign(predict) != sign(labelArr[i]): errorCount += 1
print("the test error rate is: %f" % (float(errorCount) / m))
</pre>
参考文献
- scikit中文社区：http://sklearn.apachecn.org/cn/0.19.0/
- ApacheCN
- GitHub：https://github.com/BaiNingchao/MachineLearning-1
- 图书：《机器学习实战》
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